Question

15．設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB，AA₁的中點(diǎn)．如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CD、CB、CC₁分別是x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系
（1）求向量$\overrightarrow{{D_1}E}$與$\overrightarrow{{C_1}F}$的數(shù)量積；
（2）若點(diǎn)M，N分別是線段D₁E與線段C₁F上的點(diǎn)，問是否存在直線MN，MN⊥平面ABCD？若存在，求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）在給定空間直角坐標(biāo)系中，求出$\overrightarrow{{C}_{1}F}$，$\overrightarrow{{D}_{1}E}$，由此能求出向量$\overrightarrow{{D_1}E}$與$\overrightarrow{{C_1}F}$的數(shù)量積．
（2）若MN⊥平面ABCD，則$\overrightarrow{MN}$與平面ABCD的法向量（0，0，1）平行，由此利用向量法能求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)．

解答 解：（1）在給定空間直角坐標(biāo)系中，
相關(guān)點(diǎn)及向量坐標(biāo)為C₁（0，0，2），F(xiàn)（2，2，1），$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=（2，2，-1），
${D_1}（2，0，2），E（1，2，0），\overrightarrow{{D_1}E}=（-1，2，-2）$…（2分）…（4分
所以$\overrightarrow{{D_1}E}•\overrightarrow{{C_1}F}=-1×2+2×2+（-2）×（-1）=4$．  …（6分）
（2）存在唯一直線MN，MN⊥平面ABCD．  …（8分）
若MN⊥平面ABCD，則$\overrightarrow{MN}$與平面ABCD的法向量（0，0，1）平行，
所以設(shè)$M（a，a，m），N（a，a，n），\overrightarrow{MN}=（0，0，n-m），n≠m$…（10分）
又因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是線段D₁E與線段C₁F上的點(diǎn)，
所以$\overrightarrow{{D_1}M}∥\overrightarrow{{D_1}E}，\overrightarrow{{C_1}N}∥\overrightarrow{{C_1}F}$，即$\overrightarrow{{D_1}M}=λ\overrightarrow{{D_1}E}，\overrightarrow{{C_1}N}=t\overrightarrow{{C_1}F}$，…（12分）
（a-2，a，m-2）=（-λ，2λ，-2λ），（a，a，n-2）=（2t，2t，-t），
所以$\left\{\begin{array}{l}a-2=λ\\ a=2λ\\ m-2=-2λ\end{array}\right.$且$\left\{\begin{array}{l}a=2t\\ n-2=-t\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{4}{3}\\ m=\frac{2}{3}\\ n=\frac{4}{3}\end{array}\right.$
所以點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別是$M（\frac{4}{3}，\frac{4}{3}，\frac{2}{3}）$，$N（\frac{4}{3}，\frac{4}{3}，\frac{4}{3}）$．  …（14分）

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．