Question

19．函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{a}{2}{x^2}+bx+c$，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=1．
（1）求b，c的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+2x，g（x）在R上為單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程即可求b，c的值；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用g（x）在R上為單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為g′（x）≥0恒成立，進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）f（0）=c，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x²-ax+b，
則函數(shù)在點(diǎn)（0，f（0））處的切線斜率k=f′（0）=b，
即切線方程為y-c=bx，即y=bx+c，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=1，
∴b=0，c=0
（2）∵b=0，c=0
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²，f′（x）=x²-ax，
則g（x）=f（x）+2x在R上為單調(diào)遞增，
則g′（x）=f′（x）+2=x²-ax+2≥0恒成立，
即判別式△=a-8≤0，即a≤8，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．