Question

4．已知函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}+（a-1）x（a∈$R）．
（Ⅰ）當(dāng)a＞-1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對于曲線上的不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），如果存在曲線上的點(diǎn)M（x₀，y₀），且x₁＜x₀＜x₂，使得曲線在點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴隨切線”．特別地，當(dāng)${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$時，又稱直線AB存在“中值伴隨切線”．
試問：在函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在兩點(diǎn)A、B，使得直線AB存在“中值伴隨切線”？若存在，求出A、B的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后分a≥0和-1＜a＜0討論，利用導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0分別求出x的取值范圍求得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）假設(shè)存在兩點(diǎn)A（x₁、y₁）、B（x₂，y₂），不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，利用兩點(diǎn)求斜率公式求出過A，B的直線的斜率，把A，B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)用A，B的坐標(biāo)表示，求導(dǎo)得到曲線在A，B中點(diǎn)處的切線的斜率，列等式后化簡，令$\frac{x_2}{x_1}=t$，則t＞1，則$lnt=\frac{2（t-1）}{t+1}$，令$g（t）=lnt-\frac{2（t-1）}{t+1}（t＞1）$，利用導(dǎo)數(shù)說明該函數(shù)無零點(diǎn)，說明在函數(shù)y=f（x）的圖象上不存在兩點(diǎn)A、B，使得直線AB存在中值伴隨切線．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{1}{x}-ax+a-1$=$\frac{{-a{x^2}+（a-1）x+1}}{x}=-\frac{（ax+1）（x-1）}{x}（x＞0）$，
①當(dāng)a≥0時，$\frac{-（ax+1）}{x}＜0$，
由$\left\{\begin{array}{l}f'（x）＞0\\ x＞0\end{array}\right.⇒0＜x＜1$，
由$\left\{\begin{array}{l}f'（x）＜0\\ x＞0\end{array}\right.⇒x＞1$，
∴f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）； 
②當(dāng)-1＜a＜0時，則$-\frac{1}{a}＞1$，
由$\left\{\begin{array}{l}f'（x）＞0\\ x＞0\end{array}\right.⇒0＜x＜1$或$x＞-\frac{1}{a}$，
由$\left\{\begin{array}{l}f'（x）＜0\\ x＞0\end{array}\right.⇒1＜x＜-\frac{1}{a}$，
∴f（x）的增區(qū)間為（0，1），$（-\frac{1}{a}，+∞）$，減區(qū)間為$（1，-\frac{1}{a}）$；
（Ⅱ）在函數(shù)y=f（x）的圖象上不存在兩點(diǎn)A、B，使得直線AB存在中值伴隨切線．
證明如下：
假設(shè)存在兩點(diǎn)A（x₁、y₁）、B（x₂，y₂），不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，
則${y_1}=ln{x_1}-\frac{1}{2}a{x_1}^2+（a-1）{x_1}$，${y_2}=ln{x_2}-\frac{1}{2}a{x_2}^2+（a-1）{x_2}$，
∵${k_{AB}}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{（ln{x_2}-ln{x_1}）-\frac{1}{2}a（{x_2}^2-{x_1}^2）+（a-1）（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$
=$\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}-\frac{1}{2}a（{x_2}+{x_1}）+（a-1）$，
函數(shù)圖象在${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$處的切線的斜率$k=f'（{x_0}）=f'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$=$\frac{2}{{{x_1}+{x_2}}}-\frac{a}{2}（{x_1}+{x_2}）+（a-1）$，
由$\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}-\frac{1}{2}a（{x_2}+{x_1}）+（a-1）=\frac{2}{{{x_2}+{x_1}}}-\frac{1}{2}a（{x_2}+{x_1}）+（a-1）$，
化簡得：$\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{2}{{{x_1}+{x_2}}}$，即$ln\frac{x_2}{x_1}=\frac{{2（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_2}+{x_1}}}=\frac{{2（\frac{x_2}{x_1}-1）}}{{\frac{x_2}{x_1}+1}}$，
令$\frac{x_2}{x_1}=t$，則t＞1，則$lnt=\frac{2（t-1）}{t+1}$，
令$g（t）=lnt-\frac{2（t-1）}{t+1}（t＞1）$，則$g'（t）=\frac{1}{t}-\frac{4}{{{{（t+1）}^2}}}=\frac{{{{（t-1）}^2}}}{t（t+1）}$，
由t＞1，得g′（t）＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
又g（t）在t=1處連續(xù)，g（t）＞g（1）=0，
∴方程$lnt=\frac{2（t-1）}{t+1}$在t＞1上無解，
因此在函數(shù)y=f（x）的圖象上不存在A、B兩點(diǎn)，使得直線AB存在中值伴隨切線．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．