Question

9．已知函數(shù)f（x）=4x³+bx²+ax+5在x=$\frac{3}{2}$，x=-1處有極值
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性并寫出單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)在[-1，2]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出a，b的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值．

解答 解：（1）∵f（x）=4x³+bx²+ax+5，
∴f′（x）=12x²+2bx+a，
若函數(shù)在x=$\frac{3}{2}$，x=-1處有極值，
即$\frac{3}{2}$，1是方程12x²+2bx+a=0的根，
∴$\frac{3}{2}$+1=-$\frac{6}$，$\frac{3}{2}$•1=$\frac{a}{12}$，
解得：a=18，b=-15，
故f（x）=4x³-15x²+18x+5；
（2）f′（x）=12x²-30x+18=6（2x²-5x+3）=6（2x-3）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{3}{2}$或x＜-1，令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜$\frac{3}{2}$，
∴f（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，$\frac{3}{2}$）遞減，在（$\frac{3}{2}$，+∞）遞減；
（3）由（2）得f（x）在[-1，$\frac{3}{2}$）遞減，在（$\frac{3}{2}$，2]遞增，
∴f（x）_極小值=f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{47}{4}$，而f（-1）=-32，f（2）=13，
∴函數(shù)的最大值是13，最小值是-32．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，極值的意義，是一道中檔題．