Question

14．已知直線l₁：mx-y+1-4m=0（m∈R），l₂：3x-4y-21=0．圓C滿足條件：①經(jīng)過點P（3，5）；②當(dāng)m=0時，被直線l₁平分；③與直線l₂相切．
（1）求圓C的方程；
（2）對于m∈R，求直線l₁與圓C相交所得的弦長為整數(shù)的弦共有幾條．

Answer 1

分析 （1）由②可知圓C的圓心在直線y=1上，由①③，圓心到點P與到直線l₂的距離相等，解得a，r的值，可得圓C的方程；
（2）直線l₁過定點M（4，1），分類討論可得不同情況下直線l₁與圓C相交所得的弦長為整數(shù)的弦的條數(shù)，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）由②可知圓C的圓心在直線y=1上，…（1分）
故可設(shè)圓C的方程為（x-a）²+（y-1）²=r²（r＞0）
由①③，圓心到點P與到直線l₂的距離相等，
即$r=\sqrt{{{（a-3）}^2}+{{（1-5）}^2}}=\frac{{|{3a-4×1-21}|}}{{\sqrt{{3^2}+{{（-4）}^2}}}}$，…（3分）
解得a=0，r=5．
所以，圓C的方程為x²+（y-1）²=25…（6分）
（2）由mx-y+1-4m=0可得：（x-4）m-y+1=0
令$\left\{\begin{array}{l}x-4=0\\-y+1=0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=1\end{array}\right.$
∴直線l₁過定點M（4，1）…（7分）
又4²+（1-1）²=16＜25∴M（4，1）在⊙C內(nèi)，
∴直線l₁與⊙C交于兩點，設(shè)為A，B．
當(dāng)直線l₁過圓心C時，AB取最大值10，此時m=0
當(dāng)直線l⊥MC時，AB取最小值，MC=4，
∴$AB=2\sqrt{25-16}=6$，而此時m不存在，
所以，6＜AB≤10…（10分）
故弦長為整數(shù)的值有AB=7，AB=8，AB=9各有2條，而AB=10時有1條，
故弦長為整數(shù)的弦共有7條．…（12分）

點評 本題考查的知識點是直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，難度中檔．