Question

2．平面上有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚�(gè)都相交于兩點(diǎn)，每三個(gè)都無(wú)公共點(diǎn)，它們將平面分成f（n） 塊區(qū)域，有f（1）=2，f（2）=4，f（3）=8，則f（n）的表達(dá)式為f（n）=n²-n+2．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析可得，f（n）-f（n-1）=2×（n-1），進(jìn)而可得f（3）-f（2）=2×2，f（4）-f（3）=2×3，…f（n）-f（n-1）=2×（n-1），將這些式子相加可得：f（n）-f（2）=2×2+2×3+2×4+…+2×n=n（n+1），進(jìn)而可得f（n），即可得答案．

解答 解：分析可得，n-1個(gè)圓可以將平面分為f（n-1）個(gè)區(qū)域，n個(gè)圓可以將平面分為f（n）個(gè)區(qū)域，
增加的這個(gè)圓即第n個(gè)圓與每個(gè)圓都相交，可以多分出2（n-1）個(gè)區(qū)域，
即f（n）-f（n-1）=2×（n-1），
則有f（3）-f（2）=2×2，
f（4）-f（3）=2×3，
f（5）-f（4）=2×4，
f（6）-f（5）=2×5，
…
f（n）-f（n-1）=2×（n-1），
將這些式子相加可得：f（n）-f（2）=2×2+2×3+2×4+…+2×n=n（n+1），
f（n）=2+（n-1）n=n²-n+2
故答案為f（n）=n²-n+2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查歸納推理的運(yùn)用，關(guān)鍵要根據(jù)題意，分析出每增加一個(gè)圓，可以多分出幾個(gè)區(qū)域．