Question

17．已知函數(shù)f（x）=sinθcosx+（tanθ-2）sinx-sinθ為偶函數(shù)．
（1）求sinθ，cosθ的值；
（2）若函數(shù)f（x）的最小值為0，求f（x）的最大值及取最大值時(shí)x取值的集合．

Answer 1

分析 （1）直接由偶函數(shù)的定義得到（tanθ-2）sinx=0，求得tanθ=2，聯(lián)立平方關(guān)系求得sinθ，cosθ的值；
（2）由函數(shù)為偶函數(shù)可得f（x）=sinθ（cosx-1），然后分$sinθ=\frac{2\sqrt{5}}{5}$和$sinθ=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$分類分析，求得f（x）的最大值及取最大值時(shí)x取值的集合．

解答 解：（1）∵f（x）是偶函數(shù)，
∴對(duì)于任意x∈R，都有f（-x）=f（x），即（tanθ-2）sinx=0，
∴tanθ=2，
則$\left\{\begin{array}{l}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ=1}\\{\frac{sinθ}{cosθ}=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{cosθ=\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=-\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{cosθ=-\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)tanθ=2時(shí)，f（x）=sinθ（cosx-1），
當(dāng)$sinθ=\frac{2\sqrt{5}}{5}$時(shí)，$f（x）=\frac{2\sqrt{5}}{5}（cosx-1）$最大值為0，不合題意，舍去；
當(dāng)$sinθ=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$時(shí)，$f（x）=-\frac{2\sqrt{5}}{5}（cosx-1）$最小值為0；
當(dāng)cosx=-1時(shí)，f（x）有最大值為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
自變量x的集合為{x|x=2kπ+π，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查了三角函數(shù)最值的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題．