Question

2．已知二次函數(shù)f（x）=px²+qx．滿足f（x-1）=f（x）+x-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）＜0時(shí)．X的取值集合；
（3）設(shè)a為常數(shù)，F(xiàn)（x）=|f（x）|-a，試討論方程F（x）=0的解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x-1）=f（x）+x-1，結(jié)合多項(xiàng)式相等的充要條件，求出p，q的值，可得f（x）的解析式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出滿足f（x）＜0的x的取值范圍，可得答案；
（3）程F（x）=0的解的個(gè)數(shù)，即函數(shù)y=|f（x）|與直線y=a的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫出函數(shù)y=|f（x）|的圖象，數(shù)形結(jié)合，可得答案．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=px²+qx．滿足f（x-1）=f（x）+x-1，
∴p（x-1）²+q（x-1）=px²+qx+x-1，
∴（2p+1）x+q-p-1=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}2p+1=0\\ q-p-1=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}q=\frac{1}{2}\\ p=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
∴f（x）=$-\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x；
（2）解f（x）=$-\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x＜0得：
x∈（-∞，0）∪（1，+∞），
（3）方程F（x）=0的解的個(gè)數(shù)，即函數(shù)y=|f（x）|與直線y=a的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
函數(shù)y=|f（x）|的圖象如下圖所示：

由圖可得：
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=|f（x）|的圖象與直線y=a無交點(diǎn)，此時(shí)方程F（x）=0無解；
當(dāng)a=0，或a$＞\frac{1}{8}$時(shí)，函數(shù)y=|f（x）|的圖象與直線y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)方程F（x）=0有兩個(gè)解；
當(dāng)a=$\frac{1}{8}$時(shí)，函數(shù)y=|f（x）|的圖象與直線y=a有三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)方程F（x）=0有三個(gè)解；
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{8}$時(shí)，函數(shù)y=|f（x）|的圖象與直線y=a有四個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)方程F（x）=0有四個(gè)解；

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．