Question

5．已知函數(shù)f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）在（1，+∞）上遞增且恒取正值，求a，b滿足的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）要求a^x-b^x＞0，轉(zhuǎn)換為（$\frac{a}$）^x＞1，利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求解；
（2）由增函數(shù)可得f（x）＞f（1），只需f（1）=lg（a-b）≥0即可．

解答 解：（1）∵a^x-b^x＞0，
∴（$\frac{a}$）^x＞1，
∵a＞1＞b＞0
∴x＞0，
即f（x）的定義域為（0，+∞）；
（2）因為f（x）是增函數(shù)，所以當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）＞f（1），
∴只需f（1）=lg（a-b）≥0，
∴a-b≥1．

點(diǎn)評 考查了對數(shù)函數(shù)定義域求法和利用單調(diào)性求解恒成立問題，注意f（1）可以等于零．