Question

19．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}$．
（I）求A；
（Ⅱ）若BC邊上的中線AM=2$\sqrt{2}$，高線AH=$\sqrt{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （I）由和三角函數(shù)公式和正弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$，A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）可得MH=$\sqrt{5}$，以M為原點(diǎn)，BC的垂直平分線為y軸建系，由向量的數(shù)量積可得a的方程，解得a²=4，a=2，代入三角形的面積公式計(jì)算可得．

解答 解：（I）∵在△ABC中1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}$，∴1+$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$=$\frac{2c}$，
∴$\frac{cosAsinB+sinAcosB}{cosAsinB}$=$\frac{2c}$，∴$\frac{sin（A+B）}{cosAsinB}$=$\frac{2c}$，
∴$\frac{sinC}{cosAsinB}$=$\frac{2c}$，∴由正弦定理可得$\frac{c}{bcosA}$=$\frac{2c}$，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由題意和勾股定理可得MH=$\sqrt{A{M}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
以M為原點(diǎn)，BC的垂直平分線為y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，
并設(shè)C（a，0），則B（-a，0），其中a＞0，
則由題意可得A（$\sqrt{5}$，$\sqrt{3}$），cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$＞=cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，
又可得$\overrightarrow{AB}$=（-a-$\sqrt{5}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（a-$\sqrt{5}$，-$\sqrt{3}$），
由數(shù)量積可得（-a-$\sqrt{5}$）（a-$\sqrt{5}$）+3=$\sqrt{（-a-\sqrt{5}）^{2}+3}$•$\sqrt{（a-\sqrt{5}）^{2}+3}$•$\frac{1}{2}$，
整理可得a⁴-20a²+64=0，故（a²-4）（a²-16）=0，解得a²=4或a²=1
經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)a²=16時(shí)矛盾，應(yīng)舍去，故a²=4，a=2，
故可得△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$•BC•AH=$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正余弦定理解三角形，涉及向量的數(shù)量積和三角形的面積公式，建系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．