Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sin（2x+\frac{π}{3}）（x≥0）}\\{cos（ωx+φ）（x＜0）}\end{array}\right.$（其中ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$）．若對于任意的x均有f（x-$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{3}$-x），則sin（ωφ）=（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先根據(jù)分段函數(shù)的解析式，確定函數(shù)的周期，求出ω=2，然后利用條件恒成立求出φ的值，進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵對于任意的x均有f（x-$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{3}$-x），∴函數(shù)關(guān)于x=$\frac{\frac{π}{3}-\frac{π}{6}}{2}$=$\frac{π}{12}$對稱，
當(dāng)x≥0時，函數(shù)的周期T=π，
∴當(dāng)x＜0時，函數(shù)的周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，則ω=2，
∴當(dāng)x=0時，f（-$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{3}$），
即cos（-$\frac{π}{6}$×2+φ）=sin（2×$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=sinπ=0，
則-$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+kπ，
則φ=$\frac{5π}{6}$+kπ，
∵-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$．
∴當(dāng)k=-1時，φ=$\frac{5π}{6}$-π=-$\frac{π}{6}$，
則sin（ωφ）=sin（-$\frac{π}{6}$×2）=sin（-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選：A．

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出ω 和φ的值是解決本題的關(guān)鍵．