Question

10．如圖，矩形ACEF所在的平面與Rt△ABC所在的平面垂直，D是AF的中點，且AC=BC=AD=$\frac{1}{2}$CE．
（1）證明：DE⊥BC；
（2）求多面體BCDFE與四面體BCDF的體積比．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得BC⊥平面ACEF，進而得到BC⊥DE；
（2）由D為AF的中點，得到四邊形CEFD與三角形CDF的面積比，進一步得到多面體BCDFE與四面體BCDF的體積比．

解答 （1）證明：如圖，
∵平面ACEF⊥平面ABC，平面ACEF∩平面ABC=AC，
又△ABC為直角三角形，且AC=BC，∴AC⊥BC，
則BC⊥平面ACEF，則BC⊥DE；
（2）解：在矩形ACEF中，∵D為AF的中點，
設(shè)矩形ACEF的面積為S，
∴${S}_{△CDF}=\frac{1}{4}S$，而${S}_{四邊形CEFD}=\frac{3}{4}S$，
∴$\frac{{S}_{四邊形CEFD}}{{S}_{△CDF}}=\frac{\frac{3}{4}S}{\frac{1}{4}S}=3$，
又由（1）知，BC為四棱錐B-CDFE與三棱錐B-CDF的公共高，
∴多面體BCDFE與四面體BCDF的體積比為3：1．

點評 本題考查空間中面面垂直、線面垂直的判斷和性質(zhì)，考查了柱、錐、臺體的體積，是中檔題．