Question

9．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sinB+sinA=$\frac{\sqrt{3}（sin2A-sin2B）}{2（sinB-sinA）}$
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若△ABC為銳角三角形且滿足$\frac{m}{tanC}=\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}$，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)條件，利用三角函數(shù)的和差化積公式進(jìn)行化簡(jiǎn)進(jìn)行求解即可．
（Ⅱ）化簡(jiǎn)條件，利用積化和差公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，由sinB+sinA=$\frac{\sqrt{3}（sin2A-sin2B）}{2（sinB-sinA）}$，
得2（sinB+sinA）（sinB-sinA）=$\sqrt{3}$（sin2A-sin2B），
即2×2×sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{B-A}{2}$×2×cos$\frac{A+B}{2}$sin$\frac{B-A}{2}$=$\sqrt{3}$×2×cos$\frac{2A+2B}{2}$sin$\frac{2A-2B}{2}$，
即4sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{B-A}{2}$cos$\frac{A+B}{2}$sin$\frac{B-A}{2}$=$\sqrt{3}$cos（A+B）sin（A-B）=$\sqrt{3}$cos（A+B）×2×sin$\frac{A-B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$，
即2sin（A+B）=-2$\sqrt{3}$cos（A+B），
即sinC=$\sqrt{3}$cosC，
則tanC=$\sqrt{3}$，
則C=$\frac{π}{3}$．
（2）若C=$\frac{π}{3}$．
則由$\frac{m}{tanC}=\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}$得$\frac{m}{\sqrt{3}}$=$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{sinBcosA+cosBsinA}{sinAsinB}$=$\frac{sin（A+B）}{sinAsinB}$=$\frac{sinC}{sinAsinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{sinAsinB}$，
即m=$\frac{3}{2sinAsinB}$，
∵C=$\frac{π}{3}$．
∴B=π-$\frac{π}{3}$-A=$\frac{2π}{3}$-A，
∵三角形是銳角三角形，
∴0＜$\frac{2π}{3}$-A＜$\frac{π}{2}$，
則$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{2π}{3}$，
即$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$，
則sinAsinB=sinAsin（$\frac{2π}{3}$-A）=-$\frac{cos（A+\frac{2π}{3}-A）-cos（A-\frac{2π}{3}+A）}{2}$=-$\frac{cos\frac{2π}{3}-cos（2A-\frac{2π}{3}）}{2}$=$\frac{1}{2}$cos（2A-$\frac{2π}{3}$）+$\frac{1}{4}$，
∵$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$＜2A＜π，-$\frac{π}{3}$＜2A-$\frac{2π}{3}$＜$\frac{π}{3}$，
則cos（-$\frac{π}{3}$）＜cos（2A-$\frac{2π}{3}$）≤cos0，
即$\frac{1}{2}$＜cos（2A-$\frac{2π}{3}$）≤1，即$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{2}$cos（2A-$\frac{2π}{3}$）≤$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$cos（2A-$\frac{2π}{3}$）+$\frac{1}{4}$≤$\frac{3}{4}$，
即$\frac{1}{2}$＜sinAsinB≤$\frac{3}{4}$，1＜2sinAsinB≤$\frac{3}{2}$，
則$\frac{2}{3}$≤$\frac{1}{2sinAsinB}$＜1，
則2≤$\frac{3}{2sinAsinB}$＜3，
即2≤m＜3，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)值的化簡(jiǎn)和求解，利用三角函數(shù)的和差化積以及積化和差公式將條件進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．