Question

18．已知x＞0，y＞0且x+y=2，則$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$+$\frac{1}{xy}$的最小值為3．

Answer 1

分析 由基本不等式可得$xy≤（\frac{x+y}{2}）^{2}$，然后對(duì)已知式子進(jìn)行求解即可

解答 解：∵x＞0，y＞0且x+y=2
∴$xy≤（\frac{x+y}{2}）^{2}$=1（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號(hào)）
則$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$+$\frac{1}{xy}$$≥\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{{y}^{2}}+1$$≥2\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}•\frac{1}{{y}^{2}}}+1$=$\frac{2}{xy}+1$$≥\frac{2}{（\frac{x+y}{2}）^{2}}+1$=3（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)）
即$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$+$\frac{1}{xy}$的最小值3
故答案為：3

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查基本不等式在求解最值中的應(yīng)用，解題時(shí)要注意等號(hào)成立條件的檢驗(yàn)