Question

10．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n，非常數(shù)等比數(shù)列{b_n}的公比是q，且滿足：a₁=2，b₁=1，S₂=3b₂，a₂=b₃．
（Ⅰ）求a_n與b_n；
（Ⅱ）設(shè)c_n=2b_n-λ•${3}^{\frac{{a}_{n}}{2}}$，若數(shù)列{c_n}是遞減數(shù)列，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，計算即可得到；
（Ⅱ）化簡c_n=2b_n-λ•${3}^{\frac{{a}_{n}}{2}}$=2ⁿ-3ⁿλ，由題意可得c_n+1＜c_n對n∈N^*恒成立，運用參數(shù)分離和數(shù)列的單調(diào)性，求得最大值，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則2+a₂=3q，且a₂=q²，
即有q²-3q+2=0，
解得q=2或1（舍去），
即有a₂=4，d=2，
則a_n=2n，b_n=2^n-1；
（Ⅱ）c_n=2b_n-λ•${3}^{\frac{{a}_{n}}{2}}$=2ⁿ-3ⁿλ，
由題意可得c_n+1＜c_n對n∈N^*恒成立，
即有2ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺¹λ＜2ⁿ-3ⁿλ，
即2λ3ⁿ＞2ⁿ，即2λ＞（$\frac{2}{3}$）ⁿ對n∈N^*恒成立．
由f（n）=（$\frac{2}{3}$）ⁿ為遞減數(shù)列，即有f（n）的最大值為f（1）=$\frac{2}{3}$，
則有2λ＞$\frac{2}{3}$，解得$λ＞\frac{1}{3}$．
故實數(shù)λ的取值范圍為（$\frac{1}{3}$，+∞）．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的運用，同時考查數(shù)列的單調(diào)性，注意轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題，考查運算能力，屬于中檔題．