Question

9．如圖，已知六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁的側棱垂直于底面，側棱長與底面邊長都為3，M，N分別是棱AB，AA₁上的點，且AM=AN=1．
（1）證明：M，N，E₁，D四點共面；
（2）求直線BC與平面MNE₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）正面四點共面的方法主要采用線線平行來得到．
（2）首先建立空間直角坐標系，進一步利用法向量知識利用向量的夾角余弦公式求出結果．

解答 （1）證明：連接A₁B，D₁B₁，BD，A₁E₁，
在四邊形A₁B₁D₁E₁中，A₁E₁=B₁D₁，且，A₁E₁∥B₁D₁，
在四邊形BB₁D₁D中，BD∥B₁D₁，且BD=B₁D₁，
所以：A₁E₁∥BD，且A₁E₁=BD，
則四邊形A₁BDE₁是平行四邊形．
所以A₁B∥E₁D．
在△ABA₁中，AM=AN=1，AB=AA₁=3，
所以：
$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{{AA}_{1}}$
則：MN∥BA₁，
且：MN∥DE₁，
所以：M，N，E₁，D四點共面；

（2）解：以點E坐標原點，EA，ED，EE₁線
分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖的空間直角坐標系，
則B（$3\sqrt{3}，3，0$），C（$\frac{3\sqrt{3}}{2}，\frac{9}{2}，0$），D（0，3，0），E₁（0，0，3），M（3$\sqrt{3}$，1，0）．
$\overrightarrow{BC=}（-\frac{3\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}，0）$，$\overrightarrow{{DE}_{1}}=（0，-3，3）$，$\overrightarrow{DM}=（3\sqrt{3}，-2，0）$，
設平面MNE₁D的法向量為：$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
則：$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{DE}_{1}=0}\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{DM}=0\end{array}\right.$，
即：$\left\{\begin{array}{l}-3y+3z=0\\ 3\sqrt{3}x-2y=0\end{array}\right.$，
解得：$\overrightarrow{m}=（2，3\sqrt{3}，3\sqrt{3}）$，
設直線BC與平面MNE₁D所成的角為θ，
則sinθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|}$=$\frac{\sqrt{174}}{116}$
故直線BC與平面MNE₁D所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{174}}{116}$．

點評 本題考查的知識要點：四點共面的判定，直線與平面的夾角的應用，空間直角坐標系的建立，法向量的應用，向量的數(shù)量積的應用．主要考查學生的應用能力．