Question

4．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=n•a_n-1，n=2，3，4，…．
（Ⅰ）計算a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（Ⅱ）根據(jù)計算結(jié)果，猜想{a_n}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件通過n=2，3，4，5直接計算a₂，a₃，a₄，a₅的值，
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計算結(jié)果，猜想的通{a_n}項公式，用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟直接證明即可．

解答 解：（Ⅰ）a₁=1，a_n=n•a_n-1，
可得n=2時，a₂=2；n=3時，a₃=6；
a₄=24，a₅=120
（Ⅱ）猜想 a_n=n!．
證明：①當(dāng)n=1時，由已知，a₁=1!=1，猜想成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時猜想成立，即a_k=k!．
則n=k+1時，a_k+1=（k+1）a_k=（k+1）k!=（k+1）!．
所以 當(dāng)n=k+1時，猜想也成立．
根據(jù) ①和 ②，可知猜想對于任何n∈N^*都成立

點評 本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式以及通項公式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的證明方法的應(yīng)用，考查計算能力與邏輯推理能力．