Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=3-2a_n，（n∈N^*）．
（1）證明：{a_n}是等比數(shù)列；
（2）證明：對于任意正整數(shù)n，都有1≤S_n＜3．

Answer 1

分析 （1）由S_n=3-2a_n，（n∈N^*），可得a₁=S₁=3-2a₁，解得a₁=1．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可證明．
（2）由（1）可得：a_n=$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，S_n=3-2×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$．由?n∈N^*，$（\frac{2}{3}）^{n-1}$∈（0，1]，即可證明．

解答 證明：（1）∵S_n=3-2a_n，（n∈N^*），
∴a₁=S₁=3-2a₁，解得a₁=1．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3-2a_n-（3-2a_n-1），化為${a}_{n}=\frac{2}{3}$a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為1，公比為$\frac{2}{3}$．
（2）由（1）可得：a_n=$（\frac{2}{3}）^{n-1}$．∴S_n=3-2×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$．
∵?n∈N^*，$（\frac{2}{3}）^{n-1}$∈（0，1]，∴對于任意正整數(shù)n，都有1≤S_n＜3．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其求和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．