Question

11．如圖，直線AB為⊙O的切線，切點為B，點C、D在圓上，DB=DC，作BE⊥BD交圓于點E
（1）證明：∠CBE=∠ABE；
（2）設⊙O的半徑為2，BC=2$\sqrt{3}$，延長CE交AB于點F，求△BCF外接圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）構造輔助線DE，交BC于點G．由DB=DC，BE⊥BD，得出∠CBE=∠BCE，由弦切角定理，可以得知∠CBE=∠BCE，即可證得：∠CBE=∠ABE；
（2）由（1）可得DG是BC的中垂線，即可求得BG的長度．設DE的中點為O，連結BO，求得∠BOG=60°，可得CF⊥BF，即可求得Rt△BCF外接圓的半徑．

解答 （1）證明：連結DE，交BC于點G．
∵BE⊥BD，∴DE是直徑．
∵BE²=DE²-DB²，CE²=DE²-DC²，DB=DC，
∴BE=CE，
故∠CBE=∠BCE，
由弦切角定理得，∠ABE=∠BCE．
∴∠ABE=∠CBE．
（2）解：由（1）知，∠CDE=∠BDE，DB=DC，
故DG是BC的中垂線，
所以BG=$\sqrt{3}$．
設DE的中點為O，連結BO，則∠BOG=60°．
從而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°，
所以CF⊥BF，
故Rt△BCF外接圓的半徑等于$\sqrt{3}$．

點評 本題考查弦切角定理和勾股定理，考查學生靈活轉化問題的能力，屬于中檔題．