Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-alnx（a＞0）．
（Ⅰ）若a=2，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若?x＞0，不等式f（x）-a≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a=2的f（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到極小值，無極大值；
（Ⅱ）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極小值，且為最小值，由恒成立思想可得$\frac{1}{2}$a-aln$\sqrt{a}$-a≥0，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx，f′（x）=x-$\frac{2}{x}$，x＞0
令$f'（x）=x-\frac{2}{x}＞0可得x＞\sqrt{2}$，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（$\sqrt{2}$，+∞）；
$f'（x）=x-\frac{2}{x}＜0可得0＜x＜\sqrt{2}$，
所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，$\sqrt{2}$）．
所以函數(shù)f（x）在$x=\sqrt{2}$處有極小值$f（{\sqrt{2}}）=1-ln2$；
（Ⅱ）由于a＞0，f′（x）=x-$\frac{a}{x}$，x＞0，
當(dāng)0＜x＜$\sqrt{a}$時，f′（x）＜0，f（x）在（0，$\sqrt{a}$）遞減；
當(dāng)x＞$\sqrt{a}$時，f′（x）＞0，f（x）在（$\sqrt{a}$，+∞）遞增．
即有f（x）在x=$\sqrt{a}$處取得極小值，也為最小值，且為$\frac{1}{2}$a-aln$\sqrt{a}$，
?x＞0，不等式f（x）-a≥0恒成立，
即有$\frac{1}{2}$a-aln$\sqrt{a}$-a≥0，
解得a≤$\frac{1}{e}$．
即為0＜a≤$\frac{1}{e}$．
即有a的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$]．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，主要考查不等式恒成立思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題和易錯題．