Question

7．已知f（x）=lnx+2px+1（x＞0），若p$∈（-\frac{1}{2}，0）$，證明：當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）＜0．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由p的范圍，求得-2p的范圍，求得單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到極值，也為最值，即可得證．

解答 證明：f（x）=lnx+2px+1（x＞0）的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=$\frac{1}{x}$+2p，
由p$∈（-\frac{1}{2}，0）$，則2p∈（-1，0），-$\frac{1}{2p}$∈（1，+∞），
f′（x）＞0解得0＜x＜-$\frac{1}{2p}$，f（x）在（0，-$\frac{1}{2p}$）上遞增，
f′（x）＜0解得x＞-$\frac{1}{2p}$，f（x）在（-$\frac{1}{2p}$，+∞）上遞減，
則f（x）在（0，+∞）上有極大值，也為最大值，
且為ln（-$\frac{1}{2p}$）＞0，無(wú)最小值．
則有當(dāng)x→+∞，f（x）＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求極值和最值，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．