Question

17．在平面直角坐標系xOy中，已知圓C₁：（x+8）²+（y+6）²=25和圓C₂：（x-4）²+（y-6）²=25．
（1）若直線1過原點，且被C₂截得的弦長為6，求直線l的方程；
（2）是否存在點P滿足：過點P的無窮多對互相垂直的直線l₁和1₂，它們分別與圓C₁和圓C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，若存在求出點P的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）分類討論，根據(jù)半弦長、半徑、弦心距滿足勾股定理，我們可以求出弦心距，即圓心到直線的距離，得到一個關于直線斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線l的方程．
（2）與（1）相同，我們可以設出過P點的直線l₁與l₂的點斜式方程，由于兩直線斜率為1，且直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，故我們可以得到一個關于直線斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線l₁與l₂的方程．

解答 解：（1）直線1被C₂截得的弦長為6，∴圓心到直線的距離為4，．
直線l的斜率不存在，滿足題意，方程為x=0；
∴直線l的斜率存在，設l方程為：y=kx，
圓C₂的圓心到直線l的距離為d=$\frac{|4k-6|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4
∴k=$\frac{5}{6}$，
∴直線l的方程為y=$\frac{5}{6}$x．
∴直線l的方程為：x=0或y=$\frac{5}{6}$x；
（2）設點P（a，b）滿足條件，
由題意分析可得直線l₁、l₂的斜率均存在且不為0，
不妨設直線l₁的方程為y-b=k（x-a），k≠0
則直線l₂方程為：y-b=-$\frac{1}{k}$（x-a）
∵⊙C₁和⊙C₂的半徑相等，及直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，
∴⊙C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等
即$\frac{|-6-b-k（-8-a）|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|6-b+\frac{1}{k}（4-a）|}{\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}}$
整理得|-6-b+8k+ka|=|6k-bk+4-a|
∴-6-b+8k+ka=±（6k-bk+4-a）即（a+b+2）k=b-a+10或（a-b+14）k=a+b+2
因k的取值有無窮多個，所以$\left\{\begin{array}{l}{a+b+2=0}\\{b-a+10=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a-b+14=0}\\{a+b+2=0}\end{array}\right.$
解得a=4，b=-6或a=-8，b=6
這樣的點只可能是點P₁（4，-6）或點P₂（-8，6）
經(jīng)檢驗點P₁和P₂滿足題目條件．

點評 在解決與圓相關的弦長問題時，我們有三種方法：一是直接求出直線與圓的交點坐標，再利用兩點間的距離公式得出；二是不求交點坐標，用一元二次方程根與系數(shù)的關系得出，即設直線的斜率為k，直線與圓聯(lián)立消去y后得到一個關于x的一元二次方程再利用弦長公式求解，三是利用圓中半弦長、弦心距及半徑構(gòu)成的直角三角形來求．對于圓中的弦長問題，一般利用第三種方法比較簡捷．本題所用方法就是第三種方法．