Question

【題目】過雙曲線 的右支上的一點P作一直線l與兩漸近線交于A、B兩點，其中P是AB的中點；
（1）求雙曲線的漸近線方程；
（2）當P坐標為（x0 ， 2）時，求直線l的方程；
（3）求證：|OA||OB|是一個定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：雙曲線 的a=1，b=2，

可得雙曲線的漸近線方程為y=± x，

即為y=±2x；

（2）解：令y=2可得x02=1+ =2，

解得x0= ，（負的舍去），

設A（m，2m），B（n，﹣2n），

由P為AB的中點，可得m+n=2 ，2m﹣2n=4，

解得m= +1，n= ﹣1，

即有A（ +1，2 +2），

可得PA的斜率為k= =2 ，

則直線l的方程為y﹣2=2 （x﹣ ），

即為y=2 x﹣2；

（3）證明：設P（x0，y0），即有x02﹣ =1，

設A（m，2m），B（n，﹣2n），

由P為AB的中點，可得m+n=2x0，2m﹣2n=2y0，

解得m=x0+ y0，n=x0﹣ y0，

則|OA||OB|= |m| |n|=5|mn|=5|（x0+ y0）（x0﹣ y0）|

=5|x02﹣ |=5為定值．

【解析】（1）求出雙曲線的a，b，由雙曲線的漸近線方程為y=± x，即可得到所求；（2）令y=2代入雙曲線的方程可得P的坐標，再由中點坐標公式，設A（m，2m），B（n，﹣2n），可得A，B的坐標，運用點斜式方程，即可得所求直線方程；（3）設P（x0 ， y0），A（m，2m），B（n，﹣2n），代入雙曲線的方程，運用中點坐標公式，求得m，n，運用兩點的距離公式，即可得到定值．