Question

9．在平面直角坐標系中，已知定點P（x₀，y₀），定直線l：Ax+By+C=0
（1）請寫出點P到直線l的距離公式；
（2）試證明這個公式．

Answer 1

分析 （1）寫出平面直角坐標系中，點到直線的距離公式即可；
（2）證明公式時應(yīng)討論B=0或A=0以及A≠0，且B≠0時，點到直線l的距離公式是什么，分別求出即可．

解答 解：（1）平面直角坐標系中，點P（x₀，y₀）到直線Ax+By+C=0的距離為
d=$\frac{|{Ax}_{0}+{By}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}{+B}^{2}}}$；
（2）證明：設(shè)PQ垂直直線l于Q，
當(dāng)B=0時，直線l為：x=-$\frac{C}{A}$，所以d=|x₀-（-$\frac{C}{A}$）|=$\frac{|{Ax}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}}}$，滿足公式；
當(dāng)A=0時，直線l為：y=-$\frac{C}{B}$，所以d=|y₀-（-$\frac{C}{B}$）|=$\frac{|{By}_{0}+C|}{\sqrt{{B}^{2}}}$，滿足公式；
當(dāng)A≠0，且B≠0時，直線l與x軸、y軸都相交，
過點P作x軸的平行線，交l與點R（x₁，y₀），作y軸的平行線交l于點S（x₀，y₂），
如圖所示：
把點R的坐標代入l的方程，求出x₁=-$\frac{{By}_{0}+C}{A}$，
把點S的坐標代入l的方程，求出y₂=-$\frac{{Ax}_{0}+C}{B}$，
所以|PR|=|x₀-x₁|=|$\frac{{Ax}_{0}+{By}_{0}+C}{A}$|，
|PS|=|y₀-y₂|=|$\frac{{Ax}_{0}+{By}_{0}+C}{B}$|，
|RS|=$\sqrt{{|PR|}^{2}{+|PS|}^{2}}$=$\frac{\sqrt{{A}^{2}{+B}^{2}}}{|A•B|}$•|Ax₀+By₀+C|；
由三角形的面積公式，得d•|RS|=|PR|•|PS|，
所以d=|PQ|=$\frac{|{Ax}_{0}+{By}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}{+B}^{2}}}$；
綜上，點P（x₀，y₀）到直線Ax+By+C=0的距離為
d=$\frac{|{Ax}_{0}+{By}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}{+B}^{2}}}$．

點評 本題考查了點到直線距離公式的證明與應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問題，是綜合性題目．