Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，若橢圓C上任一點(diǎn)T與兩交點(diǎn)連線所得的三角形面積的最大值為$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線OA，l，OB的斜率分別為k₁，k，k₂（其中k＞0），若k₁，k，k₂恰好構(gòu)成公比不為1的等比數(shù)列，求k的值．

Answer 1

分析 （1）通過橢圓C上任一點(diǎn)T與兩焦點(diǎn)連線所得的三角形面積的最大值為$\sqrt{3}$可知$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$•b=$\sqrt{3}$，結(jié)合e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過設(shè)直線l的方程為：y=kx+m（其中k＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓方程、利用韋達(dá)定理可知x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$、x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$、△=16（1+4k²-m²）＞0，利用k²=k₁k₂代入化簡計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵橢圓C上任一點(diǎn)T與兩焦點(diǎn)連線所得的三角形面積的最大值為$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}•2c•b$=$\sqrt{3}$，即$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$•b=$\sqrt{3}$，
又∵e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=2b，ab=2，
解得：a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）設(shè)直線l的方程為：y=kx+m（其中k＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線l的方程代入橢圓方程，消去y整理得：
（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，且△=16（1+4k²-m²）＞0，
∵k₁，k，k₂恰好構(gòu)成公比不為1的等比數(shù)列，
∴k²=k₁k₂=$\frac{（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
即k²•$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$=k²•$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+km•（-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$）+m²，
整理得：m²-4k²m²=0，
∵m≠0，
∴k=$\frac{1}{2}$或k=-$\frac{1}{2}$（舍）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．