Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A（2，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．直線y=x-1與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求線段MN的長度．

Answer 1

分析 （1）由已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，離心率列出方程組，解得b的值，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到M，N兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，代入弦長公式得答案．

解答 解：（1）∵橢圓一個(gè)頂點(diǎn)A（2，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$b=\sqrt{2}$．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得3x²-4x-2=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4}{3}$，${x}_{1}•{x}_{2}=-\frac{2}{3}$
∴$|MN|=\sqrt{1+{1}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}•\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}-4×（-\frac{2}{3}）}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，涉及直線和圓錐曲線位置關(guān)系的問題，常采用聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解，是中檔題．