Question

18．已知正四棱錐的底面邊長為a，側(cè)棱和它在底面的射影所成的角是45°，求它的全面積和體積．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)底面對角線AC∩BD=O，連接OP．由四棱錐P-ABCD是正四棱錐，可得PO⊥底面ABCD．因此∠PAO是側(cè)棱和它在底面的射影所成的角，∠PAO=45°，進而得出PO，PA．再利用全面積和體積的計算公式即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)底面對角線AC∩BD=O，連接OP．
∵四棱錐P-ABCD是正四棱錐，
∴PO⊥底面ABCD．
∴∠PAO是側(cè)棱和它在底面的射影所成的角，∠PAO=45°，
∵AB=a，
∴OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴OP=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，PA=a．
∴△PAB是等邊三角形．
∴P-ABCD的全面積S=4×S_△PAB+S_{正方形ABCD}=$4×\frac{\sqrt{3}}{4}×{a}^{2}+{a}^{2}$=$（\sqrt{3}+1）{a}^{2}$；
V_P-ABCD=$\frac{1}{3}×PO×{S}_{ABCD}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}a×{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}{a}^{3}$．

點評 本題考查了正四棱錐的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、線面角、四棱錐的全面積與體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．