Question

13．已知△ABC中，∠A、B、C所對的邊分別為a、b、c，tanC=$\frac{\sqrt{3}cosB+sinB}{\sqrt{3}sinB-cosB}$
（1）求A；
（2）若b=5，△ABC面積為15$\sqrt{3}$，求$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$．

Answer 1

分析 （1）已知等式右邊分子分母除以cosB，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系變形，再利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡，整理求出B+C的值，即可求出A的度數(shù)；
（2）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把b，sinA以及已知面積代入求出c的值，再利用余弦定理求出a的值，進而求出cosC的值，利用平面向量的數(shù)量積運算法則即可求出所求式子的值．

解答 解：（1）由tanC=$\frac{\sqrt{3}cosB+sinB}{\sqrt{3}sinB-cosB}$，變形得：tanC=$\frac{\sqrt{3}+tanB}{\sqrt{3}tanB-1}$=-$\frac{tan60°+tanB}{1-tan60°tanB}$=-tan（60°+B），
整理得：-C+180°=60°+B，即B+C=120°，
則A=60°；
（2）∵b=5，△ABC面積為15$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=15$\sqrt{3}$，即$\frac{1}{2}$×5c×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=15$\sqrt{3}$，
解得：c=12，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=25+144-60=109，即a=$\sqrt{109}$，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{109+25-144}{10\sqrt{109}}$=-$\frac{\sqrt{109}}{109}$，
則$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=abcosC=$\sqrt{109}$×5×（-$\frac{\sqrt{109}}{109}$）=-5．

點評 此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．