Question

6．已知函數(shù)f（x）=xlnx的圖象上從左至右依次存在三個點(diǎn)P（p，f（p）），C（c，f（c）），D（d，f（d）），且2c=p+d，求證：f（p）+f（d）-2f（c）＜（d-p）ln2．

Answer 1

分析 由已知可得0＜p＜c＜d，且c²＜pd，進(jìn)而根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和基本不等式，利用放縮法，可證得：f（p）+f（d）-2f（c）＜（d-p）ln2．

解答 證明：∵函數(shù)f（x）=xlnx的圖象上從左至右依次存在三個點(diǎn)P（p，f（p）），C（c，f（c）），D（d，f（d）），且2c=p+d，
∴0＜p＜c＜d，且2c=p+d＜$2\sqrt{pd}$，即c²＜pd，
∴f（p）+f（d）-2f（c）=plnp+dlnd-2clnc
=ln$\frac{{p}^{p}•3zfl2j0^57dlcif}{{c}^{2c}}$=ln$\frac{{（pd）}^{p}•ufg3cps^{d-p}}{{c}^{p+d}}$＜ln$\frac{{c}^{2p}•udagpui^{d-p}}{{c}^{p+d}}$
=ln（c^p-d•d^d-p）=ln$（\fraca8xveuk{c}）^{d-p}$
=（d-p）ln$\fracmtukpdr{c}$＜（d-p）ln$\frac{d+p}{c}$
=（d-p）ln$\frac{2c}{c}$=（d-p）ln2

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是對數(shù)的圖象與性質(zhì)，基本不等式，難度中檔．