Question

10．已知側棱垂直于底面且底面為正三角形的棱柱的體積為16，則其表面積取最小值時，底面邊長為4．

Answer 1

分析 由題意設出直三棱柱的底面邊長和高，由體積列式得到底面邊長和高的關系，寫出表面積，利用導數求最值并得到表面積最小時的底面邊長．

解答 解：由題意可知，三棱柱為直三棱柱，
設其底面邊長為a，高為h（a＞0，h＞0），
則$V=\frac{1}{2}a•\frac{\sqrt{3}}{2}a•h=16$，∴$h=\frac{64}{\sqrt{3}{a}^{2}}$，
則$S=3ah+\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$=$\frac{192}{\sqrt{3}a}+\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$，
${S}^{′}=-\frac{192}{\sqrt{3}{a}^{2}}+\sqrt{3}a$，
由S′=0，得a=4．
∴當a∈（0，4）時，S′＜0，當a∈（4，+∞）時，S′＞0，
∴當a=4時S有最小值．
故答案為：4．

點評 本題考查了空間幾何體的表面積和體積，考查了利用導數求函數的最值，是中檔題．