Question

10．已知側(cè)棱垂直于底面且底面為正三角形的棱柱的體積為16，則其表面積取最小值時(shí)，底面邊長為4．

Answer 1

分析 由題意設(shè)出直三棱柱的底面邊長和高，由體積列式得到底面邊長和高的關(guān)系，寫出表面積，利用導(dǎo)數(shù)求最值并得到表面積最小時(shí)的底面邊長．

解答 解：由題意可知，三棱柱為直三棱柱，
設(shè)其底面邊長為a，高為h（a＞0，h＞0），
則$V=\frac{1}{2}a•\frac{\sqrt{3}}{2}a•h=16$，∴$h=\frac{64}{\sqrt{3}{a}^{2}}$，
則$S=3ah+\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$=$\frac{192}{\sqrt{3}a}+\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$，
${S}^{′}=-\frac{192}{\sqrt{3}{a}^{2}}+\sqrt{3}a$，
由S′=0，得a=4．
∴當(dāng)a∈（0，4）時(shí)，S′＜0，當(dāng)a∈（4，+∞）時(shí)，S′＞0，
∴當(dāng)a=4時(shí)S有最小值．
故答案為：4．

點(diǎn)評 本題考查了空間幾何體的表面積和體積，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．