Question

6．將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器自上方的入口處，小球自由下落，小氣在下落的過程中，將遇到黑色障礙物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障礙物時，向左、右兩邊下落的概率分別是$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$
（Ⅰ）分別求出小球落入A袋和B袋中的概率；
（Ⅱ）在容器 入口處依次放入4個小球，記ξ為落入B袋中的小球個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出“小球落入A袋中”為事件M”，小球落入B袋中”為事件N，則事件M的對立事件N，而小球落入A袋中當且僅當小球一直向左落下或一直向右落下，運用對立事件求解即可．
（II）確定隨機變量ξ的所有可能的取值為0，1，2，3，4判斷出二項分布，得出B（4，$\frac{2}{3}$），運用概率公式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）記“小球落入A袋中”為事件M”，小球落入B袋中”為事件N，則事件M的對立事件N，
而小球落入A袋中當且僅當小球一直向左落下或一直向右落下，
故P（M）=$\frac{1}{27}$+$\frac{8}{27}$=$\frac{1}{3}$，
從而P（N）=1-P（M）=1-$\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$．
（II）顯然，隨機變量ξ的所有可能的取值為0，1，2，3，4
且B（4，$\frac{2}{3}$），
故P（ξ=0）=${C}_{4}^{0}$×（$\frac{2}{3}$）⁰×（$\frac{1}{3}$）⁴=$\frac{1}{81}$，
P（ξ=1）=${C}_{4}^{1}$×（$\frac{2}{3}$）¹×（$\frac{1}{3}$）³=$\frac{8}{81}$，
P（ξ=2）=${C}_{4}^{2}$×（$\frac{2}{3}$）²×（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{8}{27}$，
P（ξ=3）=${C}_{4}^{3}$×（$\frac{2}{3}$）³×（$\frac{1}{3}$）¹=$\frac{32}{81}$，
P（ξ=4）=${C}_{4}^{4}$×（$\frac{2}{3}$）⁴×（$\frac{1}{3}$）⁰=$\frac{16}{81}$，
則ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{16}{81}$

故ξ的數(shù)學(xué)期望為E（ξ）=4×$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$

點評 本題考查了離散型的隨機變量的數(shù)學(xué)期望，分布列的求解，關(guān)鍵是讀懂題意，判斷概率的類型，準確求解即可．