Question

8．長方體的一條對角線與兩個側(cè)面所成的角為30°、45°，則它與另一個平面所成的角為30°．

Answer 1

分析 設(shè)長方體對角線為AC₁，∠C₁AD₁=30°，∠C₁AB₁=45°，可求C₁D₁=$\frac{1}{2}$AC₁，B₁C₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC₁，AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC₁，在RT△C₁CA中由cos∠C₁AC=$\frac{AC}{A{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求得∠C₁AC的值．

解答 解：設(shè)長方體對角線為AC₁，∠C₁AD₁=30°，∠C₁AB₁=45°，
在RT△C₁D₁A中：sin∠C₁AD₁=$\frac{{C}_{1}{D}_{1}}{A{C}_{1}}$，即C₁D₁=AC₁•sin30°=$\frac{1}{2}$AC₁，
在RT△C1B₁A中：sin∠C₁AB₁=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{A{C}_{1}}$，即B₁C₁=AC₁•sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC₁，
在矩形A₁B₁C₁D₁中：對角線B₁D₁=$\sqrt{{C}_{1}{{D}_{1}}^{2}+{B}_{1}{{C}_{1}}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC₁，
則對角線A₁C₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC₁，
則對角線AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC₁，
在RT△C₁CA中：cos∠C₁AC=$\frac{AC}{A{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則∠C₁AC=30°，
∴它與過此頂點的第三個平面所成角的大小為30°．

點評 本題主要考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，直線與平面所成的角，考查了空間想象能力和推論論證能力，屬于基本知識的考查．