Question

7．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的實軸長為2$\sqrt{3}$，一個焦點的坐標(biāo)為$（-\sqrt{5}，0）$．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若斜率為2的直線l交雙曲線C交于A，B兩點，且|AB|=4，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)雙曲線的實軸長為2$\sqrt{3}$，一個焦點的坐標(biāo)為$（-\sqrt{5}，0）$，求出a，b的值即可求出雙曲線的方程．
（2）利用直線和雙曲線相交的弦長公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵實軸長為2$\sqrt{3}$，一個焦點的坐標(biāo)為$（-\sqrt{5}，0）$，
∴$2a=2\sqrt{3}$，得$a=\sqrt{3}$，$c=\sqrt{5}$，
∴b²=c²-a²=2，
∴雙曲線C 的方程為$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=1$．
（2）設(shè)直線l 的方程為y=2x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$，得10x²+12mx+3（m²+2）=0，
∴△=24（m²-10）＞0，得$|m|＞\sqrt{10}$，
∴弦長$|AB|=\frac{{\sqrt{5}\sqrt{24（{m^2}-10）}}}{10}=4$，解得$m=±\frac{{\sqrt{210}}}{3}$，
∴直線l 的方程為$y=2x+\frac{{\sqrt{210}}}{3}$ 或$y=2x-\frac{{\sqrt{210}}}{3}$．

點評 本題主要考查雙曲線的方程以及直線和雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用設(shè)而不求的思想是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．