Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（x+1），}&{0＜x≤2}\\{1-{2}^{x}，}&{-2≤x≤0}\end{array}\right.$，若g（x）=|f（x）|-kx-k有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （0，$\frac{1}{2e}$）
• C． [$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{2e}$]
• D． [$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 由g（x）=|f（x）|-kx-k=0得|f（x）|=kx+k，設(shè)y=kx+k=k（x+1），作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合函數(shù)的切線關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：由g（x）=|f（x）|-kx-k=0得|f（x）|=kx+k，
設(shè)y=kx+k=k（x+1），則直線過定點(diǎn)（-1，0），
作出函數(shù)|f（x）|的圖象如圖：
當(dāng)k≤0時(shí)，不滿足條件．
當(dāng)k＞0時(shí)，當(dāng)直線設(shè)y=kx+k=k（x+1）經(jīng)過點(diǎn)（2，ln3）時(shí)，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)3k=ln3，則k=$\frac{ln3}{3}$，
當(dāng)直線y=kx+k=k（x+1）與y=ln（x+1）相切時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x+1}$，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則b=ln（a+1），切線斜率為f′（a）=$\frac{1}{a+1}$，
則切線方程為y-ln（a+1）=$\frac{1}{a+1}$（x-a），
即y=$\frac{1}{a+1}$（x-a）+ln（a+1）=$\frac{1}{a+1}$•x-$\frac{a}{a+1}$+ln（a+1）
∵y=kx+k，
∴k=$\frac{1}{a+1}$•且k=-$\frac{a}{a+1}$+ln（a+1）
即$\frac{1}{a+1}$=-$\frac{a}{a+1}$+ln（a+1），
即$\frac{1}{a+1}$+$\frac{a}{a+1}$=ln（a+1）=1，
則a+1=e，即a=e-1，
則k=$\frac{1}{a+1}$=$\frac{1}{e}$，
∴要使兩個(gè)函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，則$\frac{ln3}{3}$≤k＜$\frac{1}{e}$，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．注意要利用數(shù)形結(jié)合．