Question

19．設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（1）若a是從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率；
（2）若實(shí)數(shù)a、b滿足不等式（a-2）²+（b-1）²≤1，求上述方程有實(shí)根的概率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判別式得出a²≥b²，判斷總共有4×3=12個(gè)基本事件，列舉符合題意的事件為9個(gè)，根據(jù)公式計(jì)算即可．
（2）實(shí)數(shù)a、b滿足不等式（a-2）²+（b-1）²≤1，即a²≥b²，運(yùn)用幾何意義得出，圓與陰影部分，求解面積即可得出概率．

解答 解：∵關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有解．
∴△=2a²-4b²≥0，即a²≥b²，
（1）a是從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，
總共有4×3=12個(gè)基本事件，
當(dāng)a=0，b=0；
當(dāng)a=1，b=0，1；
當(dāng)a=2，b=0，1，2；
當(dāng)a=3，b=0，1，2，
∴方程有根的情況為9中
即符合題意的事件為9個(gè)，
方程有實(shí)根的概率為$\frac{9}{12}$=$\frac{3}{4}$，
（2）實(shí)數(shù)a、b滿足不等式（a-2）²+（b-1）²≤1，
∴△=2a²-4b²，△≥0，即a²≥b²，
∵圓心為（2，1），半徑為1，∴面積為π．

陰影部分的面積為$\frac{3π}{4}$$+\frac{1}{2}$．
根據(jù)幾何概率求解得出：
方程有實(shí)根的概率：$\frac{\frac{3π}{4}+\frac{1}{2}}{π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的方程，古典概率，幾何概率的求解，關(guān)鍵判斷古典還是幾何概率，運(yùn)用公式求解．