4．已知數(shù)列{an}，a1=1，an=n+1（n≥2），Tn=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$，求證：Tn＜$\frac{5}{3}$．

分析 a1=1，an=n+1（n≥2），當n≥2時，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$．利用“裂項求和”即可得出．

解答 證明：∵a1=1，an=n+1（n≥2），
∴當n≥2時，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$．
∴Tn=$\frac{1}{1×4}$+$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{6}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）+（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）]$
=$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$
＜$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）$=$\frac{13}{24}$$＜\frac{5}{3}$．
∴Tn＜$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查了“裂項求和”方法、“放縮法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

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（2）若數(shù)列{an}中的每一項都大于0，證明：{an}的通項公式為an=n的充要條件是對任意的n∈N*，都有$\frac{{a}_{1}^{3}+{a}_{2}^{3}+…+{a}_{n}^{3}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$n（n+1）．

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（2）在直角坐標系下，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），求曲線C與直線l的交點坐標．

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9．某人從第一層坐電梯到第十層，則從第二層到第九層電梯停的次數(shù)不少于3次的概率是多少？停幾次概率最大？（假設每層停的概率為$\frac{1}{2}$）．

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（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=0處的切線與直線x+y=0平行，求k的值
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13．已知f（x）=xlnx，設其切線為L
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