Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=

5

2

，a_n+1=

5an-8

2an-3

（n∈N^*），b_n=

1

an-2

（Ⅰ）證明：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）已知c_n=b_n（-

9

10

）ⁿ，求數(shù)列{c_n}的最大項(xiàng)為第幾項(xiàng)；
（Ⅲ）設(shè)S_n為{b_n}的前n項(xiàng)和，d_n=[

Sn

n+4

]，其中[x]為不超過(guò)x的最大整數(shù)，求數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：

分析：（Ⅰ）a_n+1-2=

5an-8

2an-3

-2=

an-2

2an-3

，兩邊取倒數(shù)可得

1

an+1-2

=

1

an-2

+2，即b_n+1=b_n+2，由此可得結(jié)論；
（Ⅱ）易求b_n，c_n，可知n為偶數(shù)，假設(shè)第n項(xiàng)最大，不考慮負(fù)號(hào)，則

cn≥cn-1 cn≥cn+1

，即

2n•( 9 10 )n≥2(n-1)•( 9 10 )n-1 2n•( 9 10 )n≥2(n+1)•( 9 10 )n+1

，可解得9≤n≤10，從而可得答案；
（Ⅲ）d_n=[

Sn

n+4

]=[

n(n+1)

n+4

]=[n-3+

12

n+4

]，通過(guò)討論可表示d_n為分段式，進(jìn)而可表示{d_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=

5

2

，a_n+1=

5an-8

2an-3

，
∴a_n+1-2=

5an-8

2an-3

-2=

an-2

2an-3

，
取倒數(shù)得

1

an+1-2

=

2an-3

an-2

=

2(an-2)+1

an-2

=

1

an-2

+2，
∵b_n=

1

an-2

，
∴b_n+1=b_n+2，即數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，公差d=2；
（Ⅱ）∵{b_n}為等差數(shù)列，公差d=2，首項(xiàng)

1

a1-2

=

1

5 2 -2

=

1

1 2

=2，
∴b_n=2+2（n-1）=2n，
則c_n=b_n（-

9

10

）ⁿ=2n（-

9

10

）ⁿ，
要使{c_n}的項(xiàng)最大，則n為偶數(shù)，
假設(shè)第n項(xiàng)最大，不考慮負(fù)號(hào)，則

cn≥cn-1 cn≥cn+1

，即

2n•( 9 10 )n≥2(n-1)•( 9 10 )n-1 2n•( 9 10 )n≥2(n+1)•( 9 10 )n+1

，
則

n• 9 10 ≥n-1 n≥(n+1)• 9 10

，即

n≤10 n≥9

，則9≤n≤10，
∵n是偶數(shù)，∴n=10，即數(shù)列{c_n}的最大項(xiàng)為第10項(xiàng)；
（Ⅲ）設(shè)S_n為{b_n}的前n項(xiàng)和，則S_n=

2+2n

2

×n=n(n+1)，
d_n=[

Sn

n+4

]=[

n(n+1)

n+4

]=[n-3+

12

n+4

]，
當(dāng)1≤n≤2時(shí)，d_n=n-1；當(dāng)3≤n≤8時(shí)，n-2≤d_n＜n-1，d_n=n-2；當(dāng)n≥9時(shí)，d_n=n-3．
當(dāng)1≤n≤2時(shí)，T_n=

n(n-1)

2

；當(dāng)3≤n≤8時(shí)，T_n=1+

(n-2)(n-1)

2

；當(dāng)n≥9時(shí)，T_n=1+

6(1+6)

2

+

(n-8)(6+n-3)

2

=22+

(n-8)(n+3)

2

．
∴T_n=

n(n-1) 2 ，1≤n≤2 1+ (n-2)(n-1) 2 ，3≤n≤8 22+ (n-8)(n+3) 2 ，n≥9

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查由數(shù)列遞推式求通項(xiàng)、等差關(guān)系的確定，考查學(xué)生的推理論證能力及運(yùn)算求解能力，考查分類思想，難度較大．