3．已知非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足：$|{\overrightarrow a}|=\frac{1}{2}|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$，則向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$夾角的余弦值為$\frac{1}{4}$．

分析 做出圖形，根據(jù)條件得出△OAC三邊的關系，利用余弦定理求出cosA．

解答 解：∵設$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，取AB的中點C，則$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$），$\overrightarrow{CA}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$），
∵$|{\overrightarrow a}|=\frac{1}{2}|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$，
∴OA=OC=2AC，
∴cosA=$\frac{O{A}^{2}+A{C}^{2}-O{C}^{2}}{2OA•AC}$=$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，平面向量的幾何意義，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．如圖，在底角為45°的等腰梯形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{DC}$，M，N分別為CD，BC的中點．設$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AN}$；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=3，求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

14．設雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一條漸近線為y=-2x，且一個焦點與拋物線$y=\frac{1}{4}{x^2}$的焦點相同，則此雙曲線的方程為（　　）
A．$\frac{5}{4}{x^2}-5{y^2}=1$B．$5{y^2}-\frac{5}{4}{x^2}=1$C．$5{x^2}-\frac{5}{4}{y^2}=1$D．$\frac{5}{4}{y^2}-5{x^2}=1$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

11．下列命題：
①函數(shù)y=sin|x|不是周期函數(shù)；
②函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù)；
③函數(shù)y=|cos2x|的周期是$\frac{π}{2}$；
④$y=sin（2x+\frac{π}{3}）（x∈R）$的一個對稱中心為$（-\frac{π}{6}，0）$．
其中正確的命題的序號是①③④．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

18．在極坐標系中，已知圓C的圓心坐標為C （2，$\frac{π}{3}$），半徑R=$\sqrt{5}$，圓C的極坐標方程為ρ2-2ρcosθ-2$\sqrt{3}$ρsinθ-1=0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

8．若復數(shù)z滿足方程z•i=i-1，則z=1+i．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

15．已知p：m∈（-2，1），q：m滿足$\frac{x^2}{2+m}-\frac{y^2}{m+1}=1$表示橢圓，那么p是q的（　�。�
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

12．運動員訓練次數(shù)與運動成績之間的數(shù)據(jù)關系如下：
次數(shù)（x）3033353739444650
成績（y）3034373942464851
（1）做出散點圖；
（2）求出線性回歸方程；
（3）做出殘差圖；
（4）計算R2；
（5）試預測該運動員訓練47次及55次的成績．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

13．若數(shù)列{an}滿足an+1+（-1）nan=2n-1，則an+2+an=$\left\{\begin{array}{l}{2}&{n是奇數(shù)}\\{4n}&{n是偶數(shù)}\end{array}\right.$．

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