Question

6．△ABC外接圓的半徑為2，圓心為O，且2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AB}$|，則$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的值是（　　）

• A． 12
• B． 11
• C． 10
• D． 9

Answer 1

分析 運(yùn)用向量的三角形法則，以及外心的特點(diǎn)，可得O為BC的中點(diǎn)，A為直角，再由勾股定理和向量的數(shù)量積的定義，計(jì)算即可得到．

解答 解：2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，即有2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{0}$，
可得$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則O為BC的中點(diǎn)，
即有AB⊥AC，
又|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AB}$|，
則△ABO為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，
由勾股定理可得，AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
則$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{CB}$|•cos∠ACB=2$\sqrt{3}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=12．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的三角形法則和向量的數(shù)量積的定義的運(yùn)用，同時(shí)考查三角形的外心的概念和勾股定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．