Question

10．如圖，由四個邊長為1的等邊三角形拼成一個邊長為2的等邊三角形，各項點依次為，A₁，A₂，A₃，…A₆則$\overrightarrow{{A_1}{A_2}}•\overrightarrow{{A_j}{A_i}}，（{i，j∈[{1，2，3，…6}]}）$的值組成的集合為（　　）

• A． {-2，-1，0，1，2}
• B． $\left\{{-2，-1，-\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}，1，2}\right\}$
• C． $\left\{{-\frac{3}{2}，-1，-\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}，1，\frac{3}{2}}\right\}$
• D． $\left\{{-2，-\frac{3}{2}，-1，-\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}，1，\frac{3}{2}，2}\right\}$

Answer 1

分析 通過觀察圖形知道向量$\overrightarrow{{A}_{j}{A}_{i}}$分成以下三個類型：①小三角形邊上的向量，②大三角形邊上的向量，③大三角形中線向量，這樣求出每種情況下$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{j}{A}_{i}}$的值，從而求得答案．

解答 解：對向量$\overrightarrow{{A}_{j}{A}_{i}}$分成以下幾種類型：
邊長為1的小三角形邊上的向量，只需找一個小三角形A₁A₂A₄，它其它小三角形邊上的向量相等；
大三角形A₁A₃A₆邊上的向量，和它的中線上的向量，所以有：
$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}=1$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{1}}=-1$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{4}}=\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{4}{A}_{1}}=-\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{4}}=-\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{4}{A}_{2}}=\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{3}}=2$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{3}{A}_{1}}=-2$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{6}}=1$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{6}{A}_{1}}=-1$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{3}{A}_{6}}=-1，\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{6}{A}_{3}}=1$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{5}}=\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{5}{A}_{1}}=-\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{3}{A}_{4}}=-\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{4}{A}_{3}}=\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{6}}=\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{6}{A}_{2}}=0$；
∴$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{j}{A}_{i}}$所有值組成的集合為{1，-1，$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，2，-2，\frac{3}{2}，-\frac{3}{2}，0$}．
故選：D．

點評 考查相等向量，相反向量的概念，向量數(shù)量積的計算公式，等邊三角形中線的特點．