Question

12．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱CC₁的中點
（Ⅰ）求證：平面A₁ED⊥平面EBD；
（Ⅱ）求二面角A₁-DE-B的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立坐標系，通過向量數(shù)量積為0得OA₁⊥DB、OA₁⊥DE，再利用面面垂直的判定定理即可；
（Ⅱ）先求出平面A₁DE的一個法向量$\overrightarrow{n}$，根據(jù)$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=（1，-1，2）是平面EBD的一個法向量，通過求兩個法向量之間的夾角的余弦值的絕對值即可．

解答 （I）證明：設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，建立坐標系D-xyz如圖，
則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（2，0，2），
B₁（2，2，2），C₁（0，2，2），D₁（0，0，2），E（0，2，1），
BD的中點0（1，1，0），$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=（1，-1，2），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
$\overrightarrow{DE}$=（0，2，1），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，2），
∵$\overrightarrow{O{A}_{1}}•\overrightarrow{DB}=1×2-1×2+2×0=0$，
$\overrightarrow{O{A}_{1}}$•$\overrightarrow{DE}$=-1×0-1×2+2×1=0，
∴OA₁⊥DB，OA₁⊥DE，
又∵DB∩DE=D，DB?平面EBD，DE?平面EBD，
∴OA₁?平面A₁BD，∴平面A₁BD⊥平面EBD；
（II）解：由（I）知：$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=（1，-1，2）是平面EBD的一個法向量，
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面A₁DE的一個法向量，則$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{D{A}_{1}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2y+z=0}\\{2x+2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，解得$\left\{\begin{array}{l}{z=-2}\\{x=2}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（2，1，-2）是平面A₁DE的一個法向量，
設(shè)二面角A₁-DE-B的大小為θ，則|cosθ|=$|\frac{\overrightarrow{O{A}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{O{A}_{1}}||\overrightarrow{n}|}|$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∵0＜θ＜π，∴$sinθ=\sqrt{1-co{s}^{2}θ}=\frac{\sqrt{30}}{6}$，
∴二面角A₁-DE-B的正弦值為$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

點評 本題考查面面垂直的判定定理，向量的法向量，向量數(shù)量積運算，建立坐標系是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．