5.已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)互不相等,前兩項(xiàng)的和為10,設(shè)向量$\overrightarrow{m}$=(a1,a3),$\overrightarrow{n}$=(a3,a7),且$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$;
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=($\sqrt{2}$)${\;}^{{a}_{n}-2}$,n∈N*,求數(shù)列{$\frac{1}{{_{n}}^{2}}$}的前n項(xiàng)和Tn

分析 (1)利用向量共線定理、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;
(2)bn=($\sqrt{2}$)${\;}^{{a}_{n}-2}$=2n,可得$\frac{1}{_{n}^{2}}$=$\frac{1}{{4}^{n}}$.利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.

解答 解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d≠0,
∵前兩項(xiàng)的和為10,向量$\overrightarrow{m}$=(a1,a3),$\overrightarrow{n}$=(a3,a7),且$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$;
∴a1+a2=10,${a}_{1}{a}_{7}-{a}_{3}^{2}$=0,
∴2a1+d=10,${a}_{1}({a}_{1}+6d)-({a}_{1}+2d)^{2}$=0,
解得a1=4,d=2.
∴an=4+2(n-1)=2n+2.
(2)bn=($\sqrt{2}$)${\;}^{{a}_{n}-2}$=2n,
∴$\frac{1}{_{n}^{2}}$=$\frac{1}{{4}^{n}}$.
∴數(shù)列{$\frac{1}{{_{n}}^{2}}$}的前n項(xiàng)和Tn=$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$
=$\frac{\frac{1}{4}(1-\frac{1}{{4}^{n}})}{1-\frac{1}{4}}$
=$\frac{1}{3}(1-\frac{1}{{4}^{n}})$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、向量共線定理,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題:
(1)當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí),若a+b$\sqrt{3}$=${(m+n\sqrt{3})}^{2}$,用含m、n的式子分別表示a、b,得:a=m2+3n2,b=2mn.;
(2)利用所探索的結(jié)論,找一組正整數(shù)a、b、m、n填空:4+2$\sqrt{3}$=(1+1$\sqrt{3}$)2;
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