Question

16．方程$（1-x）sinπx=\frac{1}{2}$，當(dāng)x∈[-2，4]時(shí)，所有根的和等于（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 由$（1-x）sinπx=\frac{1}{2}$，得2sinπx=$\frac{1}{1-x}$，設(shè)y=2sinπx和y=$\frac{1}{1-x}$，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可．

解答 解：由$（1-x）sinπx=\frac{1}{2}$，得2sinπx=$\frac{1}{1-x}$，
設(shè)y=2sinπx和y=$\frac{1}{1-x}$，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，
則兩個(gè)函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，
由圖象可知兩個(gè)函數(shù)共有8個(gè)交點(diǎn)，它們兩兩關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，
不妨設(shè)關(guān)于x對(duì)稱的兩個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=1$，
即x₁+x₂=2，
∴所有8個(gè)零點(diǎn)之和為4（x₁+x₂）=4×2=8，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合將函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．