Question

8．已知命題甲：關(guān)于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為空集；命題乙：方程x²+$\sqrt{2}$ax-（a-4）=0有兩個不相等的實根．
（1）若甲，乙都是真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若甲，乙中有且只有一個是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題甲：$a＜-1，a＞\frac{1}{3}$；命題乙：a＜-4，a＞2；進而可得：（1）甲，乙都是真命題，（2）甲，乙中有且只有一個是假命題，的實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：命題甲：由不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為空集，
得△=（a-1）²-4a²＜0…（1分）
解得：$a＜-1，a＞\frac{1}{3}$…（1分）
命題乙：由方程${x^2}+\sqrt{2}ax-（a-4）=0$有兩個不相等的實根得△=2a²+4（a-4）＞0，…（1分）
解得：a＜-4，a＞2；…（1分）
（1）甲，乙都是真命題的條件是a∈（-∞，-4）∪（2，+∞）…（2分）
（2）甲，乙中有且只有一個是假命題的條件是
$\left\{\begin{array}{l}a＜-1，或a＞\frac{1}{3}\\-4≤a≤2\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a＜-4，或a＞2\\-1≤a≤\frac{1}{3}\end{array}\right.$，
故$a∈[{-4，-1}）∪（{\frac{1}{3}，2}]$…（4分）

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題的真假判斷，二次不等式的解法，方程根的個數(shù)及其判斷，難度中檔．