Question

16．設二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的頂點的橫坐標為-2，且圖象過點（0，3），又方程f（x）=0的兩個實根的平方和為10．（1）求a，b，c的值；
（2）A={x|ax²+bx+c=3，x∈R}，B={x|x²+2（m+1）x+m²-1=0，x∈R}，如果B⊆A，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系可得：$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$-2×$\frac{c}{a}$=10，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得：$-\frac{2a}$=-2，c=3，聯(lián)立檢查即可得出．
（2）ax²+bx+c=3，即x²+4x+3=3，可得A={0，-4}．根據(jù)B⊆A，可得B=∅，{0}，{-4}，{0，-4}．利用一元二次方程的根與系數(shù)及其判別式的關系即可得出．

解答 解：（1）設方程f（x）=0的兩個實根分別為x₁，x₂，則x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，∵${x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}$=10，∴$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$-2×$\frac{c}{a}$=10，又$-\frac{2a}$=-2，c=3，
聯(lián)立解得：c=3，a=1，b=4．
（2）ax²+bx+c=3，即x²+4x+3=3，化為x²+4x=0，解得：x=0，-4，∴A={0，-4}．
∵B⊆A，∴B=∅，或B={0}，或B={-4}，或B={0，-4}．
①B=∅時，△=4（m+1）²-4（m²-1）＜0，解得：m＜-1；
②B={0}，則$\left\{\begin{array}{l}{△=0}\\{{m}^{2}-1=0}\end{array}\right.$，解得m=-1．
③B={-4}，則$\left\{\begin{array}{l}{△=0}\\{16-8（m+1）+{m}^{2}-1=0}\end{array}\right.$，解得：m∈∅．
④B={0，-4}，則$\left\{\begin{array}{l}{0-4=-（m+1）}\\{0×（-4）={m}^{2}-1}\end{array}\right.$，△＞0，聯(lián)立解得m∈∅．
綜上可得：實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-1]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)及其判別式的關系、集合之間的關系，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．