Question

4．在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60°．點(diǎn)A在邊BC上的投影為點(diǎn)D．
（1）試求線段AD的長(zhǎng)度；
（2）設(shè)點(diǎn)D在邊AB上的投影為點(diǎn)E，在邊AC上的投影為F，試求線段EF的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)余弦定理求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)；（2）根據(jù)三角形面積相等求出DE和DF的長(zhǎng)，根據(jù)余弦定理求出EF的長(zhǎng)即可．

解答 解：（1）在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60°，
∴BC²=16+36-2×4×6×$\frac{1}{2}$=28，
∴BC=2$\sqrt{7}$，
S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC•sin∠BAC=$\frac{1}{2}$BC•AD，
∴AD=$\frac{6\sqrt{21}}{7}$；
（2）依題意，DE=$\frac{12\sqrt{3}}{7}$，
DF=$\frac{6\sqrt{3}}{7}$，
由∠EDF=180°-60°=120°，
∴EF²=$\frac{144×3}{49}$+$\frac{36×3}{49}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{12\sqrt{3}}{7}$×$\frac{6\sqrt{3}}{7}$=$\frac{648}{49}$，
∴EF=$\frac{18\sqrt{2}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形問題，考查余弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題．