Question

16．某市教育部門(mén)規(guī)定，高中學(xué)生三年在校期間必須參加不少于80小時(shí)的社區(qū)服務(wù)，教育部門(mén)在全市隨機(jī)抽取200位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù)，按時(shí)間段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（單位：小時(shí)）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）求抽取的200位學(xué)生中，參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù)，并估計(jì)從全市高中學(xué)生中任意選取一人，其參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的概率；
（Ⅱ）從全市高中學(xué)生（人數(shù)很多）中任意選取3位學(xué)生，即X為3位學(xué)生中參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的人數(shù)，試求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段[90，95）的學(xué)生人數(shù)為60人，參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段[95，100]的學(xué)生人數(shù)為20人，由此能求出從全市高中學(xué)生中任意選取一人，其參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的概率．
（Ⅱ）由已知得隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，X～B（3，$\frac{2}{5}$），由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段[90，95）的學(xué)生人數(shù)為：
200×0.06×5=60（人），
參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段[95，100]的學(xué)生人數(shù)為200×0.02×5=20（人），
∴抽取的200位學(xué)生中，參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為80人，
∴從全市高中學(xué)生中任意選取一人，其參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的概率p=$\frac{80}{200}$=$\frac{2}{5}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知從全市高中生中任意選取1人，其參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的概率為$\frac{2}{5}$，
由已知得隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，
則P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{3}{5}）^{3}$=$\frac{27}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{5}）（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{54}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（\frac{3}{5}）$=$\frac{36}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{5}）^{3}$=$\frac{8}{125}$，
∴隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

∵X～B（3，$\frac{2}{5}$），∴E（X）=3×$\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．