Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對一切正整數(shù)n，點(diǎn)P_n（n，S_n）在函數(shù)f（x）=x²-x的圖象上．等比數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減，且b₁b₂b₃=8，b₁+b₂+b₃=$\frac{26}{3}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若c_n是a_n、b_n的等比中項(xiàng)，求數(shù)列{c_n²}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）點(diǎn)P_n（n，S_n）在函數(shù)f（x）=x²-x的圖象上，可得S_n=n²-n，利用遞推關(guān)系即可得出a_n．設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，由b₁b₂b₃=8，b₁+b₂+b₃=$\frac{26}{3}$．可得$_{2}^{3}$=8，$\frac{_{2}}{q}+_{2}$+b₂q=$\frac{26}{3}$，解出即可得出．
（II）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）點(diǎn)P_n（n，S_n）在函數(shù)f（x）=x²-x的圖象上，∴S_n=n²-n，
∴當(dāng)n=1時，a₁=0；當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（n²-n）-[（n-1）²-（n-1）]=2n-2．
當(dāng)n=1時上式也成立，∴a_n=2n-2．
設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，∵b₁b₂b₃=8，b₁+b₂+b₃=$\frac{26}{3}$．
∴$_{2}^{3}$=8，$\frac{_{2}}{q}+_{2}$+b₂q=$\frac{26}{3}$，
解得b₂=2，q=$\frac{1}{3}$或3，
∵數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減，
∴q=$\frac{1}{3}$，
∴b_n=$_{2}×（\frac{1}{3}）^{n-2}$=2×$\frac{1}{{3}^{n-2}}$．
（II）∵c_n是a_n、b_n的等比中項(xiàng)，
∴${c}_{n}^{2}$=a_nb_n=（2n-2）×$\frac{2}{{3}^{n-2}}$=$\frac{4（n-1）}{{3}^{n-2}}$．
∴數(shù)列{c_n²}的前n項(xiàng)和T_n=$4[0+\frac{1}{{3}^{0}}+\frac{2}{{3}^{1}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-2}}]$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=4$[0+\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-2}{{3}^{n-2}}+\frac{n-1}{{3}^{n-1}}]$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$4（1+\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n-2}}-\frac{n-1}{{3}^{n-1}}）$=4$[\frac{1-\frac{1}{{3}^{n-1}}}{1-\frac{1}{3}}-\frac{n-1}{{3}^{n-1}}]$=4$（\frac{3}{2}-\frac{2n+1}{2×{3}^{n-1}}）$，
解得T_n=9-$\frac{2n+1}{{3}^{n-2}}$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．