Question

10．已知函數(shù)f（x）=x-lnx+k，在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上任取三個(gè)數(shù)a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）為邊長(zhǎng)的三角形，則k的取值范圍是（e-3，+∞）．

Answer 1

分析 任取三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）為邊長(zhǎng)的三角形，不妨設(shè)f（a）≤f（b）≤f（c），則等價(jià)于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可轉(zhuǎn)化為2f（x）_min＞f（x）_max且f（x）_min＞0．令f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，即可得出．

解答 解：任取三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）為邊長(zhǎng)的三角形，不妨設(shè)f（a）≤f（b）≤f（c），
則等價(jià)于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可轉(zhuǎn)化為2f（x）_min＞f（x）_max且f（x）_min＞0．
令f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
可得函數(shù)f（x）在區(qū)間$[\frac{1}{e}，1）$上單調(diào)遞減；在區(qū)間（1，e]上單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的極小值即最小值為f（1）=1+k．最大值f（x）_max=$\{f（\frac{1}{e}），f（e）{\}}_{max}$=f（e）=e-1+k．
從而可得$\left\{\begin{array}{l}{2（1+k）＞e-1+k}\\{k+1＞0}\end{array}\right.$，解得k＞e-3，
故答案為：（e-3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．