Question

18．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（1）=0，$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0（x＞0），則不等式xf（x）＞0的解集是（　�。�

• A． （-1，1）
• B． （-1，0）∪（1，+∞）
• C． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 利用所給不等式的特點(diǎn)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系首先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合函數(shù)在x=1處的函數(shù)值可得函數(shù)在（0，+∞）上的符號(hào)，最后利用奇函數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果．

解答 解：由題意可得：$\frac{xf'（x）-f（x）}{{x}^{2}}=（\frac{f（x）}{x}）'＞0（x＞0）$，
則函數(shù)$\frac{f（x）}{x}$ 在（0，+∞）為增函數(shù)，且當(dāng)x=1時(shí)，有 $\frac{f（1）}{1}=f（1）=0$；
故函數(shù)$\frac{f（x）}{x}$ 在（0，1）有$\frac{f（x）}{x}＜0$，又有x＞0，則此時(shí)f（x）＜0，
同理，函數(shù)x＞1時(shí)，f（x）＞0，
當(dāng)x＞0時(shí)，xf（x）＞0即f（x）＞0，不等式的解集為：（1，+∞），
函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則當(dāng)x＜0時(shí)，由對(duì)稱性可得在（-∞，-1）上，f（x）＜0，在（-1，0）上f（x）＞0，
當(dāng)x＜0時(shí)，xf（x）＞0即f（x）＜0，不等式的解集為：（-∞，-1），
很明顯x=0不滿足題意，
綜上可得：不等式xf（x）＞0的解集是（-∞，-1）∪（1，+∞）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性，導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分類討論的數(shù)學(xué)思想等，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念的理解和計(jì)算能力，屬于中等題．